COHETE DE AGUA
Un
cohete de agua o un
cohete de botella es un tipo de cohete de
modelismo
que usa agua como propelente de reacción. La cámara de presión, motor
del cohete, es generalmente una botella de plástico. El agua es lanzada
fuera por un gas a presión, normalmente aire comprimido, lo que impulsa
el cohete según la
3ª ley de Newton.
Teoría
El principio que explica la propulsión de un cohete de agua es la ley de la conservación de la
cantidad de movimiento, que es otra forma de llamar a la
3ª ley de Newton
o principio de acción-reacción. Este principio establece que en
ausencia de fuerzas externas la cantidad de movimiento de un sistema,
p, que es el producto de su
masa por su
velocidad, permanece constante o lo que es lo mismo su
derivada es igual a cero:
Cohete de botella típico.
De esta ley, con los oportunos pasos matemáticos y sustituciones, se deriva la
ecuación del cohete de Tsiolskovski:
donde
es la velocidad instantánea,
la velocidad de salida del fluido por la boca,
la masa total inicial y
la masa en cada momento.
La propulsión del cohete de agua puede esquematizarse como un sistema
en el cual se va a producir la expulsión hacia atrás de una parte de su
masa (el agua) lo que provocará un empuje que propulsará al resto del
sistema hacia delante (acción-reacción), compensándose la cantidad de
movimiento total del sistema. La
energía mecánica necesaria para la expulsión de esta fracción de masa se almacena en el sistema como
energía potencial en forma de gas a presión. Con la expulsión esta energía se irá convirtiendo en
energía cinética, las del movimiento del agua y el cohete.
Esquema de las fuerzas en el interior de un cohete cargado.
La expansión del aire comprimido se produce relativamente deprisa, unos 0,2
s, lo que no permite un intercambio térmico, por lo que esta expansión puede considerarse un
proceso adiabático.
Aplicando esta consideración se puede derivar la fórmula que describe
la fuerza teórica que sigue el agua al ser expulsada (la ecuación de la
tobera De Laval) que será de la misma intensidad que la que empuja al cohete, quedando así:
donde
es la fuerza de propulsión,
es el radio de la boca y
la diferencia de presión entre el interior y el exterior.
Además en su movimiento el cohete estará sometido a la fuerza de la
gravedad y a la resistencia producida por la fricción con el aire que depende de las leyes de la
fluidodinámica. La ecuación final de su trayectoria es muy compleja y se
resuelve numéricamente por medio de varios programas de simulación disponibles en internet.
La estabilidad de vuelo del cohete estará condicionada por la posición del
centro de masas
y de la posición del centro de presión aerodinámica. El primero tiene
que encontrarse siempre delante del segundo y a una distancia que se
estima
empíricamente
como óptima cuando ambos están separados alrededor del doble del radio
del cohete. Para distancias inferiores el vuelo puede resultar
inestable.
El centro de presión aerodinámica representa el punto en el cual se
podrían concentrar de forma equivalente todas las fuerzas que frenan el
movimiento del cohete debido a la resistencia del aire. El cálculo de su
posición es muy complejo, pero gracias al trabajo de
James Barrowman
(publicado en 1966) se puede resolver usando un sistema de ecuaciones
simplificado. Un método alternativo más fácil es encontrar el (
baricentro) de una silueta de papel con la misma forma que la
proyección
lateral del cohete. Este punto es muy cercano al verdadero centro de
presión aerodinámica. Además la posición del centro de presión
aerodinámica se puede ajustar en cierta medida modificando la posición y
dimensiones de los
alerones.
Práctica
Esquema del funcionamiento del cohete
Se construirá el cohete con una botella de plástico, o varias
alineadas, que servirá de tanque con su boca colocada hacia abajo
haciendo las veces de
tobera,
y se rellena de agua en su mayor parte. Entonces se colocará un tapón
con una válvula que permita la introducción del aire a presión, por
medio de una bomba de hinchar bicicletas, un
compresor de aire o bombonas de gases no inflamables como
CO2 o
nitrógeno, o bien se introduce alguna sustancia
efervescente.
La colocación del tapón tiene que hacerse de forma que sea lo
suficientemente resistente para resistir cierta presión, pero que sea
capaz de soltarse antes de que la presión interna pueda reventar las
paredes de plástico de la botella o que tenga un sencillo mecanismo que
permita quitarlo, a distancia.
Las presiones que se utilizan para estos lanzamientos generalmente están entre 500 y 1000
kPa.
Cuanto mayor sea la presión interna mayor será la energía potencial
acumulada. A mayor cantidad de agua mayor impulso pero también mayor
peso por lo que hay que hacer un balance de estas dos variables para
optimizar la altura del lanzamiento.
Medidas de seguridad
Lanzamiento que inicia una trayectoria curva potencialmente peligrosa.
Los cohetes de agua emplean cantidades de energía lo suficientemente
grandes para resultar peligrosas si no se manejan de forma adecuada o
los materiales de construcción fallan, por lo que hay que tomar ciertas
medidas de seguridad:
- Cuando se construye el cohete hay que hacer una test de presión para
ver su resistencia. Esto se hace llenando el cohete completamente de
agua y presurizándolo al menos al 50% de la presión que se piensa usar
para ver si la estructura aguanta.
- Una botella de plástico corriente de refresco de dos litros normalmente aguanta una presión de 700 kPa
sin problemas, pero debe tenerse en cuenta que no todas son perfectas y
el plástico puede tener alguna irregularidad, por lo que siempre deben
hacerse pruebas previas cuidadosamente.
- Se desaconseja usar partes metálicas en las zonas del cohete que van
a soportar la presión. Si el cohete reventara podrían actuar como metralla. Por lógica tampoco deben usarse botellas de vidrio que al reventar o al caer podrían proyectar peligrosos cristales.
- Cuando se realice la presurización y el lanzamiento se debe uno
mantener a una distancia adecuada. Generalmente se usan cordeles para
accionar el mecanismo de liberación manteniéndose lejos de posibles
trayectorias inesperadas del cohete.
- El chorro de agua de un cohete tiene la suficiente fuerza para
romper los dedos de quien lo maneja así que nunca se debe intentar abrir
con las manos para lanzarlos.
- Los cohetes sólo deben lanzarse en zonas abiertas y alejadas de los
viandantes a los que les pudiera caer encima o de estructuras que
pudieran dañarse por su impacto.
- El impacto de un cohete de agua es capaz de romper huesos, nunca deben ser disparados contra la gente, animales o propiedades.
- Es aconsejable usar gafas de seguridad durante su manejo.
- El pegamento usado para la unión de las partes del cohete debe ser
apto para usarse sobre plásticos, para que no se produzca corrosión en
las uniones y se debilite la estructura.
WIKIPEDIA
El análisis del sistema físico tiene las siguientes partes:
- Llenado de aire del recipiente mediante una bomba de bicicleta o similar
- Apertura del orificio en la parte inferior del recipiente y expulsión del agua, que ya
hemos estudiado en la página anterior.
- Empuje que experimenta el recipiente al expulsar el agua
- Ecuaciones del movimiento.
El cohete consta de un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio y 50 cm de
altura.
El radio del orificio situado en la parte inferior se puede modificar entre 1/2 y 1/10
del radio del recipiente. Por ejemplo, al elegir ¼, el radio del orificio es 10/4=2.5 cm
Otro dato es la proporción de agua en el recipiente. Por ejemplo, una proporción del
70% equivale a una altura de agua de 0.7·50=35 cm.
El cohete puede transportar una carga que es la suma de la carga útil más la masa de
las paredes del recipiente.
Se introduce aire comprimido en el cohete con una bomba de volumen
Vb= 5 litros.
Antes de accionar la bomba tenemos
n0 moles de aire en el recipiente
a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente
T.
pat·S1(
H-h0)
=n0RT
Cada vez que accionamos la bomba de volumen
Vb, introducimos en
el recipiente
n moles de aire a la misma temperatura
T.
pat·Vb=nRT
Si accionamos la bomba
N veces, tendremos que la presión
p0
del aire contenido en en el recipiente es
p0·S1(
H-h0)
=(
n0+n·N)
·RT
El manómetro marcará una presión final
p0 dada por
la fórmula
Ejemplo:
Supongamos que el tanto por ciento de agua en el recipiente es del 70%, la altura
inicial de agua es
h0=0.7·
H=0.7·50=35 cm.
Sabiendo que el volumen de la bomba
Vb= 5 litros, y el recipiente tiene un radio
r1=10
cm. Si accionamos la bomba
N=4 veces, la presión del aire en el
recipiente cerrado será de
p0=5.24 atm que es lo que marca el manómetro.
El recipiente experimenta un
empuje que es el producto de la velocidad de salida del
agua
ve (medida en el sistema de referencia del cohete) por la masa de agua expulsada en la unidad
de tiempo
dM/dt. La velocidad de salida del agua es
v2,
y el volumen de agua expulsada en
la unidad de tiempo (gasto) es
S2·v2.
Como hemos visto en la página anterior el
las ecuaciones que
describen este sistema son:
- La ecuación de Bernoulli,
- La ecuación de continuidad,
S1·v1=S2·v2
- Expansión isotérmica del gas
p0·S1(H-h0)=p1·S1(H-h)
que nos permiten obtener la expresión de
v1 ó
v2
en función de la altura
h de agua en el recipiente.
Aproximación
Si suponemos que la presión debida a la velocidad
v1 en la interfase
agua-aire y la presión debida a la altura
h del agua son pequeñas comparadas con
la presión
p1=p del aire en el interior del recipiente, la ecuación de
Bernoulli se escribe
Expresamos de forma simple, el empuje
E en función de la presión
p.
E=2(
p-pat)
S2
Variación de la altura del agua en el recipiente con el tiempo
A partir de la ecuación de continuidad, obtenemos la variación de la
altura
h del agua en recipiente en función del tiempo
t.
El movimiento del cohete se divide en dos etapas
- Mientras sale agua por el orificio
La masa del recipiente no es constante, sino disminuye con el tiempo. La
masa del recipiente es la suma de la carga útil, de la masa de las paredes del recipiente y del agua
que contiene en el instante
t.
m=mu+r S1·h
 |
La ecuación del
movimiento
vertical de un cohete, es la de una partícula de masa m bajo la
acción de dos fuerzas el empuje y el peso.
ma=E-mg
En forma de ecuación diferencial
|
Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas:
- Una ecuación diferencial de primer orden, que nos calcula la variación
de h con el tiempo.
- La ecuación del movimiento. El empuje E y la masa m
del cohete son funciones de h (altura de agua en el recipiente).
En el programa interactivo, se ha resuelto el sistema de dos ecuaciones diferenciales
por el método de Runge-Kutta, sin realizar ninguna aproximación. Lo que nos permite
incluso examinar el caso de que la presión del aire en el interior del recipiente no sea
suficiente para expulsar toda el agua del mismo, y se alcance una altura del fluido en
equilibrio tal como vimos en la página anterior.
- Cuando se ha agotado el agua
Una vez que se ha agotado el agua del depósito, el aire en el interior del depósito
tiene una presión p mayor que la
presión atmosférica, pero supondremos despreciable el impulso adicional
proporcionado por la salida del aire por el orificio inferior hasta que se igualan las
presiones en el interior y exterior del recipiente. Sobre el cohete actúa
solamente el peso, por lo que el movimiento es
uniformemente acelerado
 |
a=-g
v=v0-g(t-t0)
x=x0+v0(t-t0)-g(t-t0)2/2donde x0, y v0 son la posición y la velocidad
del móvil en el instante t0 en el que se ha agotado el combustible, en
este caso, agua.
|
El rozamiento del aire
Al moverse un cuerpo en el aire con velocidad
v, experimenta una
fuerza de rozamiento, que es
proporcional al cuadrado de la velocidad
Esta fuerza de rozamiento no es importante durante la fase de lanzamiento que dura poco
tiempo y durante la cual la fuerza de empuje es la que predomina, pero puede ser
importante en la fase de vuelo libre desde que se agota el combustible hasta que alcanza
la máxima altura.
La fuerza de rozamiento no se ha tenido en cuenta en la simulación del cohete
propulsado por agua.
El programa interactivo permite investigar cómo cambia la velocidad máxima que
alcanza el cohete al agotarse el agua del depósito (o la altura máxima) con
la proporción inicial de agua en el depósito, fijada la carga útil
mu,
la presión inicial
p0 del aire en el recipiente y el radio
r2 del orificio de salida del agua.
En las
gráficas que vienen a continuación, se ha dibujado:
- En el eje vertical, la velocidad máxima v que alcanza el
cohete al acabar de salir el agua por el orificio inferior.
- En el eje horizontal, la fracción f=h0·100/H
(tanto por ciento) inicial de agua en el depósito.
- Se ha fijado la carga útil mu y el radio r2
del orificio de salida del agua y se examina el comportamiento del
cohete para dos presiones iniciales p0 distintas del
aire contenido en el depósito.
Cuando la presión inicial p0 es pequeña, y la fracción
de agua en el depósito f es grande, el cohete no llega a despegar, el empuje es
menor que el peso.
Cuando la presión inicial del aire p0 es grande, existe
una fracción f para la cual la altura que alcanza el cohete es
máxima.
- En la gráfica siguiente, se ha fijado la presión inicial del aire
p0 contenido en el recipiente, y el radio r2
del orificio de salida del agua. Vemos que cuanto mayor es la carga
útil mu menor es la velocidad final o la máxima altura que alcanza el
cohete.
- Finalmente, examinamos el comportamiento del cohete fijando la
carga útil mu y la presión inicial p0
del aire en el depósito, para dos valores del radio del orificio de
salida r2=10/2 cm y r2=10/10
cm.
Como ejercicio, se sugiere al lector que fije la presión inicial del aire en el
recipiente, la carga útil y el radio del orificio, y trate de buscar la proporción
óptima de agua en el cohete a fin de que alcance la altura máxima posible. En general,
que examine el comportamiento del cohete al cambiar los distintos parámetros.
Nota: Las ecuaciones del movimiento del cohete, mientras expulsa agua, se
resuelven aplicando procedimientos numéricos. Cuando la presión
p0
es elevada y la carga útil
mu es pequeña, la solución de
las ecuaciones diferenciales empieza a tener errores apreciables, tal como
se pone de manifiesto en la forma aserrada de algunas curvas de las
figuras.
Se introduce
- La proporción de agua en el recipiente, actuando en la
barra de desplazamiento titulada % de agua
- El radio del orificio de salida del agua, eligiendo una fracción del radio del
depósito, en el control selección titulado radio orificio.
- La carga que transporta el cohete (que incluye la carga útil y las paredes del
recipiente) introduciendo un valor en el control de edición titulado carga.
Se pulsa el botón titulado
Nuevo
A continuación, se pulsa varias veces en el botón titulado
Aire, para
introducir aire en el interior del recipiente. En el manómetro situado a la derecha del
cohete vemos como va aumentando la presión. Se puede detener el movimiento
del émbolo de la bomba de aire con el botón titulado
Pausa, para
seleccionar cualquier valor de la presión.
Se pulsa el botón titulado
Despega.
Veremos que el agua es expulsada por el orificio inferior, el aire se expande en el
interior del recipiente disminuyendo la presión.
Dos flechas indican las magnitudes relativas del peso y del empuje durante la fase de
lanzamiento. Cuando se se termina de salir el agua, el empuje se hace cero y el cohete se mueve
con movimiento uniformemente acelerado hasta
que alcanza la altura máxima.
En la parte izquierda del applet, un punto de color rojo indica la posición (altura)
del cohete.
FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
VIRTUAL
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/cohete/cohete.htm
Aquellos que están familiarizados con botes pequeños saben que antes de brincar del bote al muelle, es prudente que primero se amarre el bote a dicho muelle, y sujetarse del muelle antes de brincar. De otra manera, al brincar, el bote se mueve "de manera mágica" retirándose del muelle, con la posibilidad de no caer en el muelle o de alejar el bote fuera de alcance. Todo eso es la tercera ley de Newton: al impulsar el cuerpo con las piernas hacia el muelle, ellas también aplican al bote una fuerza igual en la dirección opuesta, lo cual lo empuja retirándolo del muelle.
Un ejemplo más sutil es demostrado por la bicicleta. Es bien sabido que balancear una bicicleta inmóvil es casi imposible, mientras que con una bicicleta que avanza es bastante fácil. ¿Porqué? En cada caso aplican diferentes principios. Suponga que se sienta en una bicicleta inmóvil, y aprecia que se está inclinando hacia la izquierda. ¿Qué hace? La tendencia natural es hacerse hacia la derecha, para balancear la inclinación mediante su cuerpo. Pero al mover la parte superior de su cuerpo hacia la derecha, de acuerdo a la tercera ley de Newton, usted está en realidad haciendo que la bicicleta se incline más hacia la izquierda. ¡Tal vez deba usted inclinarse a la izquierda y empujar de nuevo la bicicleta? Puede funcionar durante una fracción de segundo, pero ahora usted estárealmente fuera de balance. Claro que no!
